Exercice 8 —
Deux projecteurs vérifiant (pq=α,qp)

Niveau : CPGE
Notions : projecteurs, composition, dimension finie,
contre-exemple
Source : Colle 1, pages 11

Énoncé

Soient (p) et (q) deux projecteurs d’un espace vectoriel (E), et soit
(K{0,1}). On suppose [ pq=,qp. ] 1. Montrer que (pq=qp=0). 2. Soit
(fL(E)) et (F) un sous-espace de (E) tels que (Ff(F)). Montrer que si
(F) est de dimension finie, alors (F=f(F)). La conclusion reste-t-elle
vraie en dimension infinie ?