Exercice
13 — Puissances d’une matrice et groupe à un paramètre

Niveau : CPGE
Notions : puissances de matrices, groupe à un
paramètre, morphisme, exponentielle
Source : Colle 1, pages 18

Énoncé

  1. Soit [ A=

    (111111111)begin{pmatrix}1&1&11&1&11&1&1end{pmatrix}

    . ] Calculer (A^n) pour (n).

  2. On considère une famille de matrices réelles (A(t)) vérifiant [
    A(t)A(s)=A(t+s). ] Exploiter cette propriété pour simplifier le calcul
    de puissances de (A(t)), en particulier de ((A(t)-I)^3), et relier la
    famille à un morphisme de ((R,+)) vers un groupe de matrices.

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